Приглашаем посетить сайт
ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНИЕ
ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНИЕ - абстрактная, характеристика нек-рой совокупности единиц (рез-тов наблюдений, значений случайной величины и т. д.), показатель их среднего уровня, часто интерпретируемый как типичная единица совокупности (хотя средняя не обязательно является членом последней). Анализ средних позволяет глубже понять особенности изучаемой совокупности, абстрагироваться от случайных и неслучайных колебаний ее элементов. Существует огромное количество видов В.с. Наиболее глубоко развита теория средних для такого случая, когда в качестве единиц х1, ... ,хn исходной совокупности выступают действительные числа. Имеется ряд способов свести такие средние к небольшому количеству формул. Наиболее широкое определение средних - это т.н. средние по Коши. Функция f(x1, ... ,xn), принимающая действительные значения, наз. средней по .Коши совокупности чисел х1, ... ,хn, если:
Все известные средние являются средними по Коши. Взвешенные средние определяются следующим образом: f(x41, ... ,xn)=a1x(l) a2x(2) ... аnх(n) , где а1, ... ,аn - действительные числа, удовлетворяющие условиям а1 ... аn=1, а1>0, i=1,... ,n; х(1)<х(2)< ... <х(n) - вариационный ряд, построенный по совокупности х1, ... ,хn. При а1= ... =аn=1/n взвешенная средняя превращается в среднее арифметическое
Для nп1/п)<х(2)< ... <х(по Уя вероят=2к 1 (нечетного) при ак 1=1 функция f превращается в медиану. Ме=х(к 1), а для n=2к (четного) при ак=ак 1=1/2 - в медиану . При а[k/4] =1 или а[3k/4] (прямые скобки означают целую часть - заключенного в них выражения; напомним, что целая часть, не превосходящее эту величину).
Известно много попыток охарактеризовать средние с помощью систем аксиом (см. Метод аксиоматич.). Естественная система аксиом приводит к такому общему виду средней
где F - строго монотонно возрастающая или убывающая функция; F-1- функция, обратная ей. При F(z)=z, In z, z-1, z2, приведенная формула превращается в среднее арифметическое,
среднее геометрическое
среднее гармоническое
среднее квадратическое
Работа по аксиоматизации теории средних продолжается и в настоящее время.
Особое значение в социологич. исследованиях играют средние, являющиеся характеристиками распределения вероятностей (см.) рассматриваемых величин случайных (см.). В первую очередь следует назвать математич. ожидание случайной величины. Если случайная величина имеет дискретное распределение с возможными значениями х1, ... ,хn и соответствующими им вероятностями р1, ... ,рn, то математич. ожидание определяется по формуле:
Если r имеет непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то
где А - область изменения r.
С помощью математич. ожидания определяются многие характеристики распределения, напр, дисперсия, ковариация (см. Меры рассеяния). Математич. ожидание есть характеристика расположения значений случайной величины, среднее значение ее распределения. В этом качестве математич. ожидание служит нек-рым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли координаты центра тяжести распределения массы в механике. Однако специфика социологич. задач приводит иногда к таким ситуациям, когда анализ самого понятия "типичности" обусловливает необходимость использования для наиболее типичного объекта не математич. ожидания, а других видов средних. От прочих характеристик расположения, с помощью к-рых распределение описывается в общих чертах (напр., мод, медиан), математич. ожидание отличается тем большим значением, к-рое оно имеет в теории вероятностей (см.). Одной из характеристик распределения вероятностей значений случайной величины, полученных по шкале, тип к-рой не ниже типа порядковой шкалы, является медиана, частный случай квантили (см.). Медианой наз. число т (одно из возможных значений рассматриваемой случайной величины; если при получении этих значений использовалась шкала, тип к-рой ниже типа абсолютной шкалы, то, вообще говоря, термин "число" может быть употреблен лишь условно), для к-рого вероятность того, что наугад выбранное значение рассматриваемой случайной величины меньше m, равна 1/2 (со строго математич. т.зр. такое определение не учитывает возможности разрыва функции распределения в точке m). Любая случайная величина имеет, по крайней мере, одну медиану. Если функция распределения этой величины - строго монотонная функция, то медиана единственна. При симметричном распределении, если медиана единственна, она совпадает с математич. ожиданием (если последнее существует). Для оценки медианы распределения по независимым рез-там наблюдений используют т.н. выборочную медиану - медиану составленного по выборочным наблюдениям вариационного ряда, вычисляемую по приведенной выше формуле для Me. Еще одной характеристикой распределения вероятностей случайной величины является мода. Для случайной величины ф, имеющей плотность вероятности р(х), модой наз. любая точка х0 максимума (локального) р(х). Мода определяется и для дискретных распределений. Если значения х1, ... ,хn, принимаемые r, расположены в порядке возрастания, то точка хm наз. модой, если Рm>Рm-1 и Рm>Рm 1оценки моды распределения по независимым рез-там наблюдений (значений случайной величины) используют выборочную моду: наблюдение, к-рому отвечает локальный максимум наблюдаемых частот (служащих оценками соответствующих вероятностей). Распределения с одной, двумя или большим числом мод наз. соответственно унимодальными (или одновершинными), бимодальными и мультимо-дальными. Наиболее важными в теории вероятностей и математич. статистике являются унимодальные распределения. Наряду с математич. ожиданием и медианой мода служит характеристикой расположения значений случайной величины. Для унимодального и симметричного относительно нек-рой точки а распределения мода равна а и совпадает с медианой и математич. ожиданием, если последнее существует. Основным условием использования того или иного вида средних является определенная качественная однородность изучаемой совокупности объектов. Главной определяющей чертой такой однородности является справедливость предположения о том, что вариация рассматриваемого признака носит характер случайности по отношению к тем условиям, к-рые определяют основные черты характеризуемого с помощью средней распределения. Др. словами, отклонения значений признака от среднего уровня в однородной совокупности можно считать случайными. Используя различные средние в социологич. исследованиях, необходимо иметь в виду, что выбор среднего в значительной мере зависит от типа тех шкал, по к-рым получены исходные данные (см. Адекватность математич. метода, n.2). Так, если в процессе получения содержательных выводов сравниваются средние величины, характе Рm>Рm-1ризующие какие-то две совокупности объектов, то выбор средних должен осуществляться в соответствии с приведенной ниже таблицей [f - вид средней, r - произвольное допустимое преобразование шкалы (см.)]. Пары <f, r >, устойчивые относительно сравнения. Лит.: Рябушкин Т.В. Средние в статистике. М., 1959; Джини К. Средние величины. М., 1970; Гласе Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М., 1976; Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М., 1979; Математическое ожидание, Медиана, Мода//Математическая энциклопедия. Т. 3. М., 1982. Андреенков В.Г. Анализ и интерпретация эмпирических данных//Социология. Основы общей теории (под ред. Осипова Г.В., Москвичева Л.Н.). М., 1996. Г.Г. Татарова, Ю.Н. Толстова.